Prova comentada: métodos dos elementos finitos

Ministrada para os alunos do 8º semestre do curso de engenharia civil da Universidade Presbiteriana Mackenzie, a disciplina Método dos Elementos Finitos (MEF) aborda, nas aulas teóricas, as principais formulações dos elementos finitos estruturais (treliça, pórtico, grelha, chapa e casca) utilizadas nas análises estática e modal para as verificações de deslocamentos, vibrações excessivas e segurança estrutural, com base nos critérios de resistência para concreto e aço. As aulas práticas são oferecidas nos laboratórios de simulação com acesso às versões atualizadas dos programas comerciais ANSYS, SAP2000, TQS e FTOOL (licenças educacionais).

Professor da disciplina e coordenador adjunto do curso de engenharia civil no Mackenzie, o engenheiro civil Alfonso Pappalardo Jr. conta que o MEF ganhou ainda mais prestígio entre os projetistas de estruturas de concreto armado para edifícios com a publicação da NBR 6118:2003 (Projeto de Estruturas de Concreto), que apresentou um capítulo sobre os princípios gerais da análise estrutural, recomendando o uso do MEF, que atende praticamente a todas as áreas da engenharia civil. “Em estruturas e geotecnia são realizadas análises de campos acoplados com interação solo-estrutura (barragens e escavação de túneis) e fluido-estrutura (vibrações em pontes induzidas pela ação do vento, validação de ensaios de túnel de vento em edifícios de formas complexas e tensoestruturas). Na área de infraestrutura de transportes, o MEF é aplicado, por exemplo, em projetos de pavimentos aeroportuários sujeitos às ações dinâmicas. Já na área de construção civil, é geralmente utilizado em análises termoestruturais para avaliar os efeitos causados pela elevação adiabática da temperatura do concreto massa e em análises de conforto (térmico e acústico) para atender às normas de desempenho. E, nas áreas de meio ambiente e recursos hídricos, para a simulação de problemas de transporte de poluentes em solos contaminados”, explica o professor.

Segundo Pappalardo Jr., para acompanhar as aulas práticas, o aluno deve demonstrar percepção estrutural em relação ao comportamento dos elementos estruturais, fazendo uso dos principais fundamentos desenvolvidos nas aulas das disciplinas do eixo Estruturas e Fundações: Resistência dos Materiais (3º e 4º semestres), Estabilidade das Construções (5º, 6º e 7º semestres), Estruturas de Concreto (7º, 8º e 9º semestres), Estruturas Metálicas (8º semestre), Estruturas de Madeira (8º semestre) e Fundações (8º semestre). Para as aulas teóricas, são utilizados os conceitos de Cálculo Numérico e Álgebra Linear nos tópicos: operações e álgebra matricial, determinantes, resolução de sistemas lineares e não lineares, problemas de autovalores e autovetores, interpolação polinomial e integração numérica.

O professor faz questão de mencionar a tradição no ensino da Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie, cujo quadro docente já foi integrado por ícones como Roberto Rossi Zuccolo, considerado o pai do concreto protendido no Brasil, José Carlos de Figueiredo Ferraz e Augusto Carlos Vasconcelos, idealizadores da primeira cadeira de Concreto Protendido em cursos de engenharia civil no Brasil. “O curso foi um dos pioneiros na implantação da disciplina MEF no país. Não podemos perder o prestígio e o caráter inovador construídos em mais de um século”, finaliza Pappalardo Jr.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

NBR 6118 – Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), 2014. Versão Corrigida.

Mecânica dos Materiais. Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R.; Dewolf, J. T.; Mazurek, D. F. 7. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2015.

TRELIÇA COM SISTEMA TENSOR DE CABO

Para a treliça de alumínio, formada por elementos tubulares e sujeita a uma carga concentrada de 200 kN aplicada no ponto (B), pede-se o deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga e a tensão no cabo BD, nas seguintes situações:

a) o cabo desativado;

b) o cabo ajustado perfeitamente entre os pontos BD, antes da aplicação da carga;

c) após a ativação do sistema tensor do cabo com o deslocamento prescrito no apoio (D) igual a +10 mm. Dados: módulo de elasticidade do alumínio E=70×106 kPa, módulo de elasticidade do aço E= 200×106 kPa, área da seção tranversal tubular ATUBO = 706,86 mm2, área da seção tranversal do cabo ACABO = 78,54 mm2 e tensão de ruptura do cabo f R = 2000 MPa. A matriz de rigidez do elemento genérico ij de treliça plana é dada por:

Utilizar as unidades consistentes: kN (kilonewton), m (metro), kPa (kilopascal). Operar com três (03) casas decimais.

Comentário

O efeito da ativação do sistema tensor do cabo pode ser simulado por imposição de deslocamento prescrito. Com a ativação do cabo, os deslocamentos em estruturas leves e muito flexíveis serão controlados e as tensões nas barras da treliça serão aliviadas. Cabe ressaltar que haverá um aumento da tensão no cabo e deve-se, obrigatoriamente, verificar a segurança à ruptura do mesmo.

REFORÇO EM ESTRUTURAS METÁLICAS

Determinar a tensão equivalente, pelo Critério de Resistência de von Mises, no elemento triangular de chapa, indicado na Figura 1. Comparar a tensão obtida com o limite de resistência ao escoamento do aço e verificar a necessidade de reforço estrutural nas chapas da ligação pilar-viga do pórtico rolante. As coordenadas e os deslocamentos nodais do elemento 1-2-3, em destaque na Figura 1, obtidos a partir dos resultados do modelo de elementos finitos, valem, respectivamente:

COORDENADAS NODAIS:
x1 = 1670,7 mm; y1 – 11898 mm
x2 = 1569,1 mm; y2 = 11898 mm
x3 = 1569,1 mm; y3 – 12099 mm

COORDENADAS NODAIS:
ux1 = + 25,3740 mm; uy1 = -2,8314 mm
ux2 = + 25,3240 mm; uy2 = -2,8721 mm
ux3 = + 25,3410 mm; uy3 = -2,8509 mm

Figura 1. Detalhe da ligação pilar-viga e distribuições das tensões equivalentes

Dados: limite de resistência ao escoamento do aço f.Y=345 MPa, módulo de elasticidade do aço E=205 GPa e coeficiente de Poisson do aço=0,3. Operar com quatro (04) casas decimais. Utilizar as unidades consistentes: kN (kilonewton), mm (milímetro), GPa (gigapascal).

Comentário

Este problema foi adaptado do modelo de elementos finitos de casca (Figura 1), considerando-se apenas o efeito de membrana, para os graus de liberdade compatíveis com o elemento de chapa (2 graus de liberdade/nó). Apesar da formulação do elemento de chapa representar o estado duplo de tensões, a tensão equivalente (von Mises) pode ser comparada diretamente com o limite de resistência ao escoamento, obtido em ensaio de tração uniaxial, para a verificação da segurança ao escoamento.

ESTABILIDADE GLOBAL DE EDIFÍCIOS

Determinar a inércia equivalente, na direção do vento indicada, da estrutura de contraventamento formada pela associação de pilares-parede (Figura 1) referente a um edifício comercial de seis pavimentos, cuja planta esquemática do pavimento-tipo é mostrada na Figura 2. Neste sentido:

a) verificar a influência dos trechos rígidos, nas ligações pilar-viga, no comportamento da estrutura, utilizando o modelo de pórtico plano, ativando-se a deformação por cisalhamento para os pilares-parede;

(a) comparar os resultados obtidos anteriormente com aqueles provenientes dos modelos de elementos de chapa e de casca;

(b) verificar o parâmetro de instabilidade para os modelos analisados.

Dados: altura do pé-direito estrutural h = 2,8 m e módulo de elasticidade secante do concreto Ecs=28 GPa, carregamento médio dos pavimentos p = 12 kN/m2 (inclusive o teto do último pavimento). Desprezar a influência da rigidez das lajes e o peso da estrutura acima do teto composta pelo ático (caixas d”água e casa de máquinas).

Figura 1. Estrutura de contraventamento formada por pilares-parede associados (medidas em cm)
Figura 2. Edifício de concreto armado de seis pavimentos-tipo (+ teto)

Comentário

Para a largura efetiva das vigas, no modelo de pórtico plano simplificado, considerar as vigas justapostas com largura b=38 cm (bV1a + bV1b) para levar em conta o dobro da inércia à flexão das vigas. Uma atenção especial deve ser tomada na definição do eixo principal de inércia das seções transversais dos pilares-parede. Este é um erro comum de modelagem. Uma regra prática: coloque-se no sentido de escoamento do vento (Figura 1) e observe que os pilares-parede são de seção transversal tipo “U invertido” e tipo “U”, respectivamente.

TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS E LIMITES DAS TEORIAS

Calcular as tensões na seção n-n da viga em balanço de seção transversal tipo T submetida a uma carga concentrada P = 6,7 kN na extremidade livre, conforme indicada na Figura 1, utilizando as seguintes formulações:
a) elementos finitos de viga plana;
b) elementos finitos de chapa (Figura 2);
c) elementos finitos de casca (Figura 3);
d) elementos finitos sólidos (Figura 1).

Figura 1. Esquema estático e características geométricas da seção transversal da viga em balanço
Figura 2. Dimensões do modelo de elementos finitos de chapa
Figura 3. Dimensões do modelo de elementos finitos de casca
Figura 4. Modelos de elementos finitos estruturais

Comentário

O comportamento elástico de um sólido deformável pode ser representado por distintas formulações de elementos finitos estruturais, dentro dos limites de cada teoria. O modelo sólido fornece os seis componentes de tensão (três tensões normais e três tensões de cisalhamento) em cada ponto do modelo (Figura 4d). É a formulação mais completa baseada na Teoria da Elasticidade Tridimensional. O modelo de casca fornece as tensões nos planos médios da mesa (plano xz) e da alma (plano xy) (Figura 4c). O modelo de chapa (Figura 4b) fornece as tensões no plano de flexão xy. E, finalmente, o modelo de viga (Figura 4a), que é o mais utilizado pela sua versatilidade e facilidade de interpretação dos resultados, fornece as tensões longitudinais ao longo do eixo da viga (direção x), que em projetos estruturais é uma informação essencial.

Autor:

Alfonso Pappalardo Jr.
alfonso.pappalardo@mackenzie.br

Formado em engenharia civil pela Universidade Presbiteriana Mackenzie, em 1986, Alfonso Pappalardo Jr. possui doutorado em Engenharia de Estruturas pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (1999) e pós-doutorado em engenharia civil pela Universidade do Minho, em Portugal (2013). Tem experiência profissional na área de Engenharia de Estruturas e, atualmente, é sócio-diretor da empresa Nabla Squared Consultoria, Análise e Projeto Estrutural. É responsável pelo Curso de Especialização em Construções Civis: Excelência Construtiva e Anomalias, na Universidade Presbiteriana Mackenzie. É conselheiro suplente do Crea-SP desde janeiro de 2016, representando a Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie, onde, atualmente, é coordenador adjunto do curso de engenharia civil.

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