Prova comentada: resistência dos materiais II

Acervo pessoalGiada Claudia Bettazzi
gbettazzi@ufba.br

Graduada em Engenharia Civil pela Escola Politécnica da Universidade Federal da Bahia (UFBA). Atualmente é Engenheira Civil na Conder (Companhia de Desenvolvimento da Bahia) e trabalha no setor de Projetos da Diretoria de Equipamentos e Qualificação Urbanística. Finalizou o mestrado em Engenharia de Estruturas na Escola Politécnica da Universidade Federal da Bahia em dezembro de 2013. Lecionou as disciplinas Resistência dos Materiais II e Hiperestática entre março de 2012 e abril de 2013 na Escola Politécnica da UFBA como professora substituta do Departamento de Construção e Estruturas. Ela leciona atualmente as disciplinas Resistência dos Materiais II e Introdução aos Sistemas Estruturais na mesma Universidade.


Resistência dos Materiais II é uma disciplina que dá aos engenheiros civis conhecimento para calcular deslocamentos de vigas e pilares. “Com isso, pode-se aplicar seus conceitos em projetos de estruturas metálicas, de concreto e de madeira, em que as seções transversais dos elementos estruturais são determinadas de modo a não permitir que os deslocamentos excedam os valores limites”, explica a engenheira civil Giada Claudia Bettazzi, professora no Departamento de Construção e Estruturas da Escola Politécnica da Universidade Federal da Bahia.

A professora e pesquisadora, que também atua como engenheira na Conder (Companhia de Equipamentos e Qualificação Urbanística), explica que a disciplina, embora pouco prática, é essencial para dar aos alunos conceitos inerentes ao comportamento dos principais elementos que constituem os edifícios. “Flambagem de colunas, deflexão de vigas e métodos de energia são alguns dos pontos essenciais da disciplina, que é ministrada aos alunos que já estão na metade do curso”, explica Giada. São pré-requisitos para a disciplina, o conhecimento de Lei de Hooke, os conceitos de tensão, deformação, esforços internos, flexão, derivadas e integrais, e equações de equilíbrio.

A disciplina é pré-requisito indispensável para as matérias mais avançadas do curso, como Hiperestática – assunto já trabalhado pela professora entre 2012 e 2013 na UFBA – Estática das Contruções, Estruturas de Concreto Armado, Construções de Madeira e Construções de Aço.

A prova comentada a seguir tem como objetivo “avaliar o conhecimento básico necessário para resolver problemas de todos os níveis de complexidade utilizando questões de fácil compreensão”, conclui Giada.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

HIBBELER, Russel Charles. Resistência dos Materiais, 7a ed. – São Paulo: Ed. Pearson Prentice Hall, 2010.
BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, Elwood Russel; DEWOLF, Jhon T.
MAZUREK, David F. Mechanics of Materials. 7a ed. Ed. Mc Graw-Hill, 2015.
GERE, James Monroe. Mechanics of Materials, 6a ed. Thomson Learning, 2004.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

POPOV, Egor Paul. Resistência dos Materiais, Rio de Janeiro, Prentice Hall do Brasil, 1984.
POPOV, Egor Paul. Engineering Mechanics of Solids, 2a ed. Englewood Cliffs, Prentice Hall Engineering, 1998.
FEODOSIEV, V. I. Resistência dos Materiais. 2a ed. Moscou: Ed. MIR, 1980.
HIGDON, Ohlsen Stiles. Mecânica dos Materiais. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois.
LACERDA, Flávio Suplicy. Resistência dos Materiais. Rio de Janeiro: Ed. Globo, 1955.
TIMOSHENKO, Stephen Prokofievich; GERE, James Monroe. Mecânica dos Sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1983.

Prova de 2a Chamada – QUESTÃO 1

Desenhe o diagrama de momento fletor da viga ao lado, utilizando o Método da Integração Direta. Considere EI constante.

Comentário

Para resolver esta questão é necessário inicialmente escolher qual será a reação redundante, já que se trata de uma viga estaticamente indeterminada. Uma vez escolhida, deve-se utilizar as equações de equilíbrio para que as outras reações fiquem em função da mesma. Feito isso, a próxima etapa deve ser o cálculo das equações de momento dos dois trechos da viga. Integrando duas vezes cada uma das equações, encontram-se as equações da linha elástica, porém, necessita-se descobrir os valores das constantes de integração. Com as condições de contorno e as condições de continuidade, encontram-se os valores das constantes de integração. Ainda é necessário calcular o valor da reação redundante que está presente nas duas equações da linha elástica. Para isso, utiliza-se a condição de geometria associada a ela. Com o valor das constantes de integração e com a ajuda da condição de geometria, calcula-se a reação redundante e, com as equações de equilíbrio, calculam-se todas as reações restantes. Para finalizar, o diagrama de momento fletor pode facilmente ser desenhado levando-se em consideração as seguintes observações: o momento fletor é nulo na ponta do balanço e linear nos trechos AB e BC por não ter carga distribuída.

QUESTÃO 2

Calcule a flecha máxima da viga de aço a seguir utilizando os Teoremas de Mohr. Dados: E=205GPa; I=1,0145e+08m4.

Comentário

Para resolver este problema, inicialmente calculam-se as reações através das equações de equilíbrio. Com os valores das reações, desenhase o diagrama de momento fletor. Para calcular o valor da flecha máxima vmáx, que ocorre na extremidade C da viga, deverá ser utilizado o segundo Teorema de Mohr: “O desvio vertical da tangente em um ponto (A) da linha elástica em relação à tangente traçada a partir de outro ponto (B) é igual ao momento da área sob o diagrama M/EI entre esses dois pontos (A) e (B). Esse momento é calculado em relação ao ponto (A), onde o desvio vertical (tA/B) deve ser determinado”. Após o cálculo da flecha no ponto B, só é possível calcular a flecha no ponto C levando em conta que a inclinação nesses pontos é igual e utilizando o primeiro Teorema de Mohr para o cálculo da inclinação: “O ângulo entre as tangentes em quaisquer dois pontos da linha elástica é igual à área sob o diagrama M/EI entre esses mesmos dois pontos”. Aproximando o ângulo a sua tangente, por ser muito pequeno, calcula-se a flecha através de relação trigonométrica.

QUESTÃO 3

Considere uma coluna de aço engastada na base e livre no topo com comprimento de 5 m sofrendo a ação de uma carga vertical com excentricidades de 20 mm em relação ao eixo x e de 15 mm em relação ao eixo y. Determine o valor da menor carga admissível Padm, para a qual a coluna sofrerá flambagem elástica. Considere FS=1,6. Dados: E=205GPa; σy=250MPa.

Comentário

Esse problema de carregamento excêntrico deve ser resolvido por iteração utilizando a fórmula da secante. Para que a flambagem seja elástica, o valor da tensão máxima que surgirá na coluna não poderá superar a tensão de escoamento do aço. Porém, como é pedido para considerar o FS (Fator de Segurança), então teremos de trabalhar com a tensão admissível como sendo o limite para a tensão máxima. Tendo isso em mente, será necessário, antes, calcular o raio de giração (r) e o índice de esbeltez (λ). Esta última depende do comprimento efetivo (Lef) da coluna que leva em conta suas condições de apoio. A partir da análise da seção transversal mostrada na questão, temos a distância da fibra mais comprimida em relação à linha neutra (c) e a excentricidade (e). Com os valores de todos os parâmetros em mãos, exceto a carga Padm, calcula-se a incógnita a partir da iteração, ou seja, “tentativa e erro”. Deve-se fazer esse cálculo para os dois eixos e escolher o menor valor.

QUESTÃO 4

Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, determine qual o deslocamento horizontal do ponto D da treliça mostrada. Dados: E=205GPa; A=1,1310e+02mm².

Comentários

Para resolver esta questão, inicia-se calculando os esforços normais (N) em todas as barras da treliça. Além disso, deve-se criar um problema virtual no qual o carregamento real deve ser retirado e apenas uma força unitária virtual horizontal é colocada no ponto D (o sentido é arbitrário). Calculam-se os esforços nas barras (n) para esse problema também. Com os valores das forças nas barras, calcula-se o deslocamento horizontal do ponto D, uD, utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Caso o deslocamento calculado apresente sinal negativo, o sentido real é contrário ao adotado para a carga virtual.

Por: Giada Claudia Bettazzi

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