Prova comentada: dinâmica das estruturas

Jeferson Rafael Bueno
jefersonrafael@utfpr.edu.br

Graduado em engenharia civil pela Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões (URI), Campus Santo Ângelo (RS), em 2009, Jeferson Rafael Bueno tem experiência na área de engenharia civil, com ênfase em estruturas de concreto armado. Atualmente, dedica-se com exclusividade à UTFPR-Campus Campo Mourão, onde leciona e atua na área de pesquisa sobre dinâmica das estruturas, do Departamento Acadêmico de Construção Civil (DACOC). Possui mestrado em engenharia de estruturas pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), onde é doutorando em engenharia de estruturas pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil (PPGEC-UFSC).

Oferecida para os estudantes do 7º ao 10º semestre do curso de engenharia civil da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR), no Campus Campo Mourão, a disciplina optativa Dinâmica das estruturas prepara os alunos para analisar os efeitos de cargas que variam significativamente no tempo e que mobilizam forças inerciais. Também capacita os futuros engenheiros civis a analisar estruturas de grande porte, como barragens de usinas hidrelétricas, usinas nucleares, túneis e grandes pontes.

Segundo Jeferson Rafael Bueno, professor da área de Dinâmica das estruturas na UTFPR-Campus Campo Mourão, a matéria aborda conceitos como a relação entre as propriedades da estrutura (massa, amortecimento e rigidez) e resposta da estrutura à ação dinâmica provocada pelo vento, sismos, tráfego de veículos em pontes, colisões etc. “Essa resposta é composta pelos deslocamentos, velocidades e acelerações da estrutura”, acrescenta Bueno. O professor conta que a disciplina também permite fazer verificações de conforto de estruturas sujeitas a vibrações, como as de indústrias onde há operação de máquinas, academias, casas de show, pontes e até mesmo as de escritórios e residências sujeitos à ação humana.

Para ser bem assimilada, a matéria exige dos alunos o domínio de conceitos de mecânica (análise de estruturas e equilíbrio de estruturas isostáticas e hiperestáticas), resistência dos materiais (resistência dos corpos sólidos a serem rompidos) e de cálculo (resolução de equações diferenciais, de transformada de Laplace e de transformada de Fourier). “Conceitos sobre análise matricial são bem-vindos, apesar de não serem obrigatórios”, diz o engenheiro civil, que busca elaborar provas que façam o aluno refletir sobre o que foi ensinado e demonstrar o conhecimento adquirido. “Sempre que possível, tento elaborar questões voltadas a um problema ou a uma situação prática”, complementa.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA
 Métodos Numéricos para Engenharia. 5 th. Chapra, S. C.; Canale, R. P. São Paulo, Editora McGraw-Hill, 2008.
 Dynamics of Structures. 3rd. Clough, R. W.; Penzien, J. Nova York, Editora McGraw- Hill, 2003.
 Concepts and Applications of Finite Element Analysis. 4 th. Cook, R. D.; Malkus, D. S.; Plesha, M. E. Nova Jersey (EUA), Editora John Wiley and Sons, 2001.
 The Finite Element Method using MATLAB. Kwon, Y. W.; Bang, H. Nova York, The Mechanical Engineering Series, 1996.
 Análise Dinâmica das Estruturas. 1 st. Lima, S. de S.; Santos, S. H. de C. Rio de Janeiro, Ciência Moderna Ltda., 2008.
 Matrix Structural Analysis. 2 nd. Mcguiere, W.; Gallagher, R. H.; Ziemian, R. D. Nova Jersey (EUA), Editora John Wiley and Sons, 1999.
 Fundamentals of Vibrations. Meirovitch, L. Boston, Nova York, Editora McGraw-Hill, 2000.
 Elementos Finitos: Formulação e Aplicação na Estática e Dinâmica das Estruturas. 1 st. Soriano, H. L. Rio de Janeiro, Ciência Moderna Ltda., 2009.

? Equilíbrio da estrutura
Em dinâmica, verifica-se que o estudo de sistemas de um grau de liberdade (1gdl) é essencial para a análise de estruturas maiores, como a de edifícios e pontes, já que a equação de equilíbrio dinâmico é a mesma. Logo, monte a equação de equilíbrio para uma estrutura de 1gdl utilizando o Princípio de d’Alembert e o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV).

Comentários
Como neste exercício é preciso escrever a equação de equilíbrio, lembre-se de montar primeiro o diagrama de corpo livre (DCL), como é feito em qualquer outro exercício. Considere que as partes do sistema possuem comportamento físico-linear.

? Dinâmica x estática
O termo “dinâmica” se refere à variação no tempo. Assim, uma carga dinâmica é qualquer força cuja magnitude, posição e/ou direção variem com o tempo. Logo, a resposta da estrutura sob a ação de força dinâmica também será dinâmica, ou seja, variará com o tempo. Considerando o exposto, liste as duas principais diferenças entre análise dinâmica e análise estática.

Comentários
Para responder a esta pergunta teórica, observe uma equação de equilíbrio de um sistema dinâmico e compare-a com uma equação de equilíbrio estático.

? Vigas biapoiadas
Em indústrias, é comum que vigas e lajes sirvam de apoio para motores e mecanismos. Dessa forma, para uma viga biapoiada com vão de L = 5,0 m, que suporta um motor com massa de 1.000 kg, pede-se para calcular a força total nos apoios. Em condições normais de trabalho, o motor exerce uma força dinâmica harmônica na viga, no sentido vertical, com amplitude de 2.000 N e frequência de vibração igual a 50 Hz. Por simplificação, desconsidere o peso da viga. Dados:
Fator de amortecimento: ξ = 10% ; Módulo de elasticidade longitudinal: E = 210 GPa;
Viga com seção transversal retangular vazada: largura de 200 mm e altura de 500 mm, com parede de espessura de 50 mm.

Comentários
Neste exercício, pense em como modelar a viga e o motor como um sistema equivalente e, com este modelo, verifique quais as forças que compõem a força dinâmica transmitida para a base. Lembre-se de que a relação entre frequência da excitação e frequência da estrutura é muito importante.

? Análise dinâmica
Para o pórtico plano da figura ao lado, calcule as frequências e modos de vibração naturais da estrutura. Considerações:
Altura dos andares = 4 m;
As vigas e lajes formam um plano rígido, assim a massa de cada andar pode ser considerada concentrada no nível do andar, sendo:
m1 = 10.000,0 kg;
m2 = 10.000,0 kg;
m3 = 5.000,0 kg.
Os pilares possuem seção retangular vazada de 60 cm x 60 cm (primeiro andar), 50 cm x 50 cm (segundo andar) e 40 cm x 40 cm (terceiro andar), e a espessura da parede das seções é de 5 cm;
Os deslocamentos axiais dos pilares são insignificantes;
Desconsidere o amortecimento (ξ = 0);
PoMódulo de elasticidade longitudinal dos pilares: E = 210 GPa.

Comentários
Na análise dinâmica, percebe-se que há propriedades do sistema mecânico que independem do carregamento atuante, ou seja, elas não são alteradas caso se altere o carregamento. Essas propriedades dinâmicas do sistema são as frequências e os modos de vibração (naturais). Logo, como se tem amortecimento nulo, o problema pode ser resolvido em vibração livre não amortecida. Para estruturas com muitos graus de liberdade, é conveniente resolver o problema dinâmico utilizando a análise matricial, calculando a matriz de rigidez e de massa para a estrutura. Para simplificar os cálculos utilize a matriz de massa discreta, que possui coeficientes de massa somente na diagonal principal. A mesma deve ser quadrada de ordem N, sendo N o número de graus de liberdade do pórtico. A matriz de rigidez deve ser simétrica e também de ordem N. Para a solução do problema de autovalores e autovetores, recomenda-se utilizar o computador (planilha, software etc).

Por Valentina Figuerola

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