Prova comentada: resistência dos materiais II

Giada Claudia Bettazzi
gbettazzi@ufba.br

Formou-se em engenharia civil pela Universidade Federal da Bahia (UFBA) em 2010 e concluiu, em 2013, o mestrado em engenharia de estruturas na mesma universidade. Desde 2014, leciona as disciplinas Resistência dos materiais II, Hiperestática e Introdução aos sistemas estruturais no Departamento de Construção e Estruturas da universidade. Nesse mesmo ano, ingressou na Companhia de Desenvolvimento da Bahia (Conder) como analista de processos ambientais, obras urbanas e de informações geoespaciais, onde trabalha até hoje.

Ministrada no quinto semestre do curso de engenharia civil da Universidade Federal da Bahia (UFBA), a disciplina Resistência dos materiais II ensina os alunos a calcular deslocamentos de corpos sólidos, como vigas e pilares. Flambagem de colunas, deflexão de vigas e métodos de energia são alguns dos conceitos apresentados aos estudantes, que aprendem a aplicá-los em projetos de estruturas metálicas, concreto e madeira, cujas seções transversais dos elementos estruturais devem ser determinadas de modo a não permitir que os deslocamentos excedam os valores limites.

“Para assimilar bem o conteúdo programático, o aluno precisa ter noção de conceitos como tensão, deformação, Lei de Hooke, esforços internos, flexão, torção, cálculos de derivadas e integrais, cálculo de treliça e equações de equilíbrio”, explica a engenheira civil Giada Claudia Bettazzi, professora da disciplina no Departamento de Construção e Estruturas da Escola Politécnica da UFBA. Sobre a aplicação da disciplina no campo da engenharia civil, Giada, que trabalha em uma empresa pública com projeto de estruturas de concreto armado, usa a própria atuação profissional para dar resposta. “Para os cálculos dos esforços nos elementos estruturais são necessários conceitos relacionados à resistência dos materiais. Além disso, minha área de estudo na UFBA é a extensometria, que consiste basicamente num método prático e não destrutivo de medida das deformações de uma estrutura”, explica a engenheira civil.

Resistência dos materiais II serve como base teórica para disciplinas mais avançadas do curso, como Hiperestática, Estática das construções, Estruturas de concreto armado I, Estruturas de concreto armado II, Estruturas de concreto armado III, Construções de madeira e Construções de aço. Giada diz que o seu objetivo, ao elaborar a prova, é obter do aluno o conhecimento básico necessário para resolução de problemas em níveis de complexidade distintos, com questões de fácil compreensão. “A disciplina é pouco prática, dessa forma as provas refletem a teoria, que representa a prática de maneira simples”, complementa.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

Leitura básica
– Mechanics of Materials, 6ª ed. Gere, J. M. Thomson Learning, 2004.
– Mechanics of Materials. 7ª ed. Beer, F. P.; Johnston, E. R.; Dewolf, J. T.; Mazurek, D. F. Ed. Mc Graw-Hill, 2015.
– Resistência dos Materiais, 7ª ed. Hibbeler, R. C. São Paulo, Ed. Pearson Prentice Hall, 2010.

Leitura complementar
– Resistência dos Materiais. Popov, E. P. Rio de Janeiro, Prentice-Hall do Brasil, 1984.
– Engineering Mechanics of Solids, 2ª ed. Popov, E. P. Englewood Cliffs, Prentice-Hall Engineering, 1998.
– Resistência dos Materiais. 2ª ed. Feodosiev, V. I. Moscou, Ed. MIR, 1980.
– Mecânica dos Materiais. Higdon, O. S. Rio de Janeiro, Ed. Guanabara Dois.
– Resistência dos Materiais. Lacerda, F. S. Rio de Janeiro, Ed. Globo, 1955.
– Mecânica dos Sólidos. Timoshenko, S. P.; Gere, J. M. Rio de Janeiro, LTC, 1983.
– Resistência dos Materiais, 7ª ed. Hibbeler, R. C. São Paulo, Ed. Pearson Prentice Hall, 2010.

Momento fletor

Desenhe o diagrama de momento fletor da viga a seguir, utilizando o Método da Integração Direta. Considere rigidez de flexão da viga (EI) constante.

Comentários

Para resolver essa questão é necessário, inicialmente, escolher qual será a reação redundante, já que se trata de uma viga estaticamente indeterminada. Depois, o aluno deve utilizar as equações de equilíbrio para que as outras reações fiquem em função dela. A próxima etapa é o cálculo das equações de momento dos dois trechos da viga. Integrando duas vezes cada uma das equações, encontram-se as equações da linha elástica – porém, é necessário descobrir os valores das constantes de integração a partir das condições de contorno e das condições de continuidade. Ainda é necessário calcular o valor da reação redundante que está presente nas duas equações da linha elástica. Para isso, utiliza-se a condição de geometria associada a ela. Com o valor das quatro constantes de integração e com a ajuda da condição de geometria, calcula-se a reação redundante e, com as equações de equilíbrio, calculam-se todas as reações restantes. Para finalizar, o diagrama de momento fletor pode facilmente ser desenhado levando-se em consideração as seguintes observações: o momento fletor é nulo no apoio móvel A; linear no trecho AB, por não ter carga distribuída; e parabólico no trecho BC devido à carga uniformemente distribuída.

Teoremas de Mohr

Calcule a flecha máxima da viga de aço a seguir utilizando os Teoremas de Mohr. Sabe-se que a mesma ocorre no trecho AB. Dados: E = 205 GPa; I = 8,1052e + 06 mm4.

Comentários

O cálculo das reações por meio das equações de equilíbrio é o primeiro passo para resolver o problema. Com os valores das reações, desenhe diagrama de momento fletor. Para calcular o valor da flecha máxima vmáx, é necessário saber antes exatamente onde ela ocorre, ou seja, qual sua coordenada xK, sendo K o ponto onde ela ocorre. Para isso, utiliza-se o primeiro Teorema de Mohr: “o ângulo entre as tangentes em quaisquer dois pontos da linha elástica é igual à área sob o diagrama M/EI entre esses mesmos dois pontos”. Com o diagrama de momento fletor desenhado, calcule a área do trecho AK em função da coordenada xK. Neste caso, será a área de um triângulo com base igual a xK e a altura uma função de xK, previamente determinada. Utilize o conceito de que no ponto onde ocorre a flecha máxima, o ângulo da linha elástica é nulo, o ângulo entre as tangentes do ponto K e do ponto A é igual à inclinação da linha elástica no ponto A, no sentido oposto. Igualando a inclinação θA à área encontrada, calculase o valor de xK. Uma vez encontrada a posição xK da flecha máxima, para calcular o seu valor deverá ser utilizado o segundo Teorema de Mohr: “o desvio vertical da tangente em um ponto (A) da linha elástica em relação à tangente traçada a partir de outro ponto (B) é igual ao momento da área sob o diagrama M/EI entre esses dois pontos (A) e (B). Esse momento é calculado em relação ao ponto (A), onde o desvio vertical (tA/B) deve ser determinado”.

Carregamento excêntrico

Considere uma coluna de aço engastada na base e livre no topo com comprimento de 4,5 m, sofrendo a ação de uma carga vertical com excentricidade de 75 mm em relação ao eixo y. Determine o valor da carga admissível Padm para a qual a coluna sofrerá flambagem elástica em torno do eixo y. Considere FS = 1,5. Dados: E = 205 GPa; σy = 250 MPa; A = 4,6e + 03 mm²; I = 2,0313e + 07 mm4.

Comentários

Esse problema de carregamento excêntrico deve ser resolvido por iteração utilizando a fórmula da secante. Para que a flambagem seja elástica, o valor da tensão máxima que surgirá na coluna não poderá superar a tensão de escoamento do aço. Porém, como na questão pede-se para considerar o Fator de Segurança (FS), então temos de trabalhar com a tensão admissível como o limite para a tensão máxima. Com isso em mente, será necessário antes calcular o raio de giração (r) e o índice de esbeltez (λ). Esta última depende do comprimento efetivo (Lef) da coluna que leva em conta suas condições de apoio. A partir da análise da seção transversal mostrada na questão, temos a distância da fibra mais comprimida em relação à linha neutra (c) e a excentricidade (e). Com os valores de todos os parâmetros em mãos, exceto a carga Padm, calcula-se a incógnita a partir da iteração, ou seja, tentativa e erro.

Treliça

Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, determine qual a flecha do ponto C da treliça mostrada. Dados: E = 205 GPa; A = 2,8274e + 03 mm².

Comentários

O aluno deve calcular os esforços normais (N) em todas as barras da treliça. Além disso, deve-se criar um problema virtual onde o carregamento real deve ser retirado e apenas uma força unitária virtual é colocada no ponto C (o sentido é arbitrário). Calcule os esforços nas barras (n) para esse problema também. Com os valores das forças nas barras, calcule a flecha do ponto C, vC, utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais. Caso a flecha calculada apresente sinal negativo, o sentido real é contrário ao adotado para a carga virtual.

Por Valentina Figuerola

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