Prova comentada: resistência dos materiais I

Elizabeth Hernández Zubeldia 
elizabeth.zubeldia@ceulp.edu.br

Elizabeth Hernández Zubeldia formou-se em engenheira civil pelo Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría (ISPJAE), em Cuba, em 2008. Mestre e doutora em geotecnia pela Universidade de Brasília-UnB (2013 e 2017), Elizabeth é professora das disciplinas de Resistência dos Materiais I e II do curso de engenharia civil do Centro Universitário Luterano de Palmas (Ceulp-Ulbra), com pesquisas na área de Métodos Numéricos aplicados à Engenharia Civil. É sócia-proprietária da empresa Arcos Projeto e Consultoria, e atua como consultora em projetos de estruturas e de geotecnia.

BIBLIOGRAFIA
Resistência dos materiais. Hibbeler, R. C. Rio de Janeiro, LTC. 3a ed. 2000.
Resistência dos Materiais. Beer, F. P.; Russell, E.J., São Paulo, Editora Makron Books, 1995.


A Resistência dos Materiais fornece os conceitos básicos para o dimensionamento e análise de estruturas e obras geotécnicas. Ensinada a alunos do 6o semestre da faculdade de engenharia civil do Centro Universitário Luterano de Palmas (Ceulp-Ulbra), a disciplina aborda os tópicos relacionados à mecânica dos sólidos deformáveis, conceito de tensão e a relação tensão-deformação.

“É apresentado o estado geral de tensão e são estudados cada um dos estados de tensão isoladamente (tensão normal, cisalhamento, flexão e torção). Também é estudada a estabilidade de elementos submetidos a compressão (flambagem)”, explica a engenheira civil Elizabeth Hernández Zubeldia, professora das disciplinas de Resistência de Materiais I e II do curso de engenharia civil do Ceulp-Ulbra.

Ela conta que, para assimilar bem a disciplina, os alunos precisam conhecer a diferença entre corpo rígido e corpo deformável, identificar os elementos e formas fundamentais das estruturas e vinculação dos sistemas estruturais. “Além disso, os estudantes devem conhecer o conceito de esforços internos solicitantes em estruturas e sua representação gráfica”, acrescenta a engenheira civil.

A disciplina de Resistência dos Materiais serve como base teórica para matérias mais avançadas do curso de engenharia civil, como projeto de estruturas de concreto, projeto de estruturas de aço, projeto de estruturas de madeira, obras geotécnicas e projeto de pontes. “A Resistência dos Materiais é uma disciplina básica comum às engenheiras civil, mecânica, ambiental, de produção, entre outras”, afirma a professora.

Elizabeth esclarece que, embora um projeto estrutural ou geotécnico seja muito mais abrangente e complexo do que uma prova, os exemplos colocados nas questões procuram situar o aluno em problemas específicos que podem ser inseridos dentro de estruturas mais complexas. “Dessa forma, o aluno adquire as habilidades necessárias para analisar e resolver problemas que serão apresentados para ele em disciplinas futuras e em sua vida profissional”, complementa a professora.

ESFORÇOS NORMAIS

A Figura 1 mostra o esquema de uma viga (BD) de cobertura que é suspendida por dois cabos de aço (AB e CD) com E = 210 GPa. O dimensionamento dos cabos pelo Estado Limite de Resistência, dentro do limite elástico do material, gerou um diâmetro d = 5 cm, que será usado para ambos os tensores (cabos). O uso da cobertura exige que o deslocamento vertical e a inclinação em relação à horizontal da viga BD sejam menores que 2,5 cm e 0,2%, respetivamente. Verifique se o dimensionamento atende aos requerimentos do Estado Limite de Serviço. Considere que o elemento BD tem rigidez infinita (corpo rígido).

Comentário

O cálculo do alongamento em barras solicitadas a esforços normais é relativamente simples. Quando o material trabalha no regime elástico e linear (sem exceder o limite de escoamento), a fórmula para o cálculo do alongamento é facilmente deduzida a partir da Lei de Hooke e das definições clássicas de tensão normal (σ = N/A ) e deformação (ε = δ/L ). Usualmente, o cálculo do alongamento é realizado para verificar o cumprimento dos deslocamentos limites prescritos pelo Estado Limite de Serviço. Neste exercício, o aluno deverá perceber que o alongamento máximo acontece no cabo AB, pelo fato de ter um maior comprimento que o cabo CD, tendo ambos o mesmo diâmetro, material e força axial (observe que as cargas estão distribuídas simetricamente). Portanto, para a verificação do deslocamento vertical δmax = 2,5 cm basta apenas calcular o alongamento do cabo AB. No entanto, o alongamento do cabo CD também deve ser calculado para verificar que a diferença entre os alongamentos de ambos os cabos garante uma inclinação menor que 0,2 % para a viga BD.

FLEXÃO COMPOSTA

Na Figura 2 é mostrado o esquema de um pórtico espacial formado por vigas apoiadas em pilares por meio de mísulas. A resultante do peso próprio das vigas e da carga de uso é indicada no esquema como uma força uniformemente distribuída R = 1,8 kN/m. A Figura 3 mostra uma seção transversal dos pilares no nível das mísulas. Os eixos cartesianos (x,y) e os vértices A, B, C e D da seção do pilar são indicados para serem usados como referência nos cálculos. Todas as dimensões estão em metros.
A) Calcule e desenhe a distribuição de tensões na seção do pilar no nível da mísula. Desconsidere o efeito do peso próprio do pilar.
B) Calcule a área da seção do pilar submetida à tração.

Comentário

O exercício mostra um caso típico de flexão composta em pilares. A seção quadrada (ou retangular, em um caso mais geral) é típica de elementos de concreto armado. No item A), o aluno deve calcular as reações das vigas e aplicá-las como força vertical no centroide das mísulas. Consequentemente, serão obtidas duas forças de diferente valor, aplicadas excentricamente. Tais forças devem ser deslocadas até o centroide do pilar, acrescentando o momento fletor produzido pelas excentricidades. Com isso, deve ser aplicada a fórmula da flexão para calcular as tensões nos vértices A, B, C e D da seção do pilar. A resultante das tensões normais em cada ponto permitirá desenhar a distribuição de tensões no pilar e identificar a posição da linha neutra. Se a linha neutra estiver dentro da seção transversal, conforme solicitado no item B), o aluno deverá calcular a distância entre os vértices submetidos à tração e à linha neutra e, desta forma, determinar a área tracionada.

TORÇÃO

A figura mostra o esquema da estrutura portante de um degrau de escada em balanço, engastado no ponto C. O trecho BC tem um comprimento L = 1,50 m e uma seção transversal quadrada de lado d. O degrau é formado por uma peça de seção variável cujas dimensões permitem assumir que se trata de uma peça infinitamente rígida (corpo rígido). Considere que o degrau foi construído com um material com módulo de elasticidade transversal G = 9.60 GPa.

Determine a dimensão d que garante que ao aplicar uma carga P = 13 kN na extremidade do degrau, o ponto A tenha um deslocamento menor do que 5 mm. Auxilie-se das fórmulas e das tabelas mostradas abaixo.

Comentário

Solicitações de torção não são comuns na maioria das estruturas. No entanto, existem casos simples, como o que é mostrado no exemplo, em que o cálculo do ângulo de torção é essencial para a determinação dos deslocamentos de determinados pontos-chaves da estrutura. No exercício, o aluno deve perceber que a deflexão do ponto A depende do ângulo de torção gerado na extremidade em balanço da viga BC. Portanto, deve-se calcular, por meio da tangente inversa, o ângulo do triângulo formado pelos catetos C1 = 0,30 m e C2 = 0,005 m. O valor do ângulo obtido deve ser utilizado como parâmetro de entrada na fórmula do ângulo de torção, fornecida no exercício. Dita fórmula deve ser utilizada para determinar a dimensão dmin, que corresponde ao ângulo de torção calculado. Para garantir deslocamentos menores que 5 mm no ponto A, o lado d deve ter uma dimensão maior do que o valor dmin calculado.

FLAMBAGEM

O pilar da figura foi construído com um perfil W 200 x 15,0 de aço ASTM A 572 Grau 50 (E = 200 GPa, Limite de escoamento 350 MPa e Limite de resistência 450 MPa). A tabela mostra as características dos perfis fornecidas pelo fabricante. O pilar está unido por meio de rótulas às vigas no topo (ponto C) e na metade da altura (ponto B). Na base (ponto A) o pilar está engastado. Desconsidere o peso próprio do pilar e admita apenas a carga distribuída na viga superior com um valor q = 20 kN/m. Desconsidere também a possibilidade de acontecer instabilidade plástica no pilar e responda: o pilar pode suportar uma carga transmitida pela viga superior sem flambar? Justifique sua resposta com cálculos.

Comentário

A verificação da estabilidade por flambagem é muito importante em projeto de estruturas de aço. O projetista de aço trabalha com elementos fornecidos pelos fabricantes. Por isso, é fundamental saber identificar as propriedades e as características necessárias para o cálculo em tabelas similares às mostradas no exercício. Ao desconsiderar o peso próprio do elemento, simplifica-se o trabalho do aluno, para concentrar o foco no raciocínio do processo de instabilidade por flambagem, que precisa ser visualizado em torno dos eixos (x; y) da seção transversal e em cada um dos trechos do pilar definidos pela viga intermediária. O aluno deve identificar, dentre os possíveis trechos e eixos de flambagem, qual é o crítico, que seria aquele onde a flambagem aconteceria de fato. Isso está fundamentado no cálculo do índice de esbelteza (lambda). Uma vez identificado o trecho e o eixo de maior índice de esbelteza, o aluno deve calcular a carga crítica e compará-la com a carga atuante. Nenhum coeficiente de segurança é introduzido no exercício, pois o foco é a análise e o entendimento do fenômeno físico. O limite de escoamento e o limite de resistência do aço não são utilizados no exercício, pois a análise é limitada ao regime elástico do material.

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One thought on “Prova comentada: resistência dos materiais I

  1. Excelente, resumo rápido e didático, desde já esperando a próxima prova comentada da professora E.H. Zubeldia

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